東大寺学園中学入試問題　２００９年算数２番　規則性　場合の数　数列

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この下に続くおもしろ算数問題の中から
あなたのお気に入りの問題がひとつでも見つかるといいですね
自分の頭で考える喜びを味わってみてください
解けた瞬間の感動の喜びをあなたも味わってみて～～それでは、ごゆっくりどうぞ

　東大寺学園中学　入試問題　２００９年度　（平成２１年度）
算数２番

横一列に並んだｎ個の○の間に、

仕切りの│を入れていくつかの部分に分ける方法の数をＳ（ｎ）とします。

例えば　ｎ＝２のとき　　○○に対し　○│○　よりＳ（２）＝１

ｎ＝３のとき　　○○○に対し　○│○○　○○│○　○│○│○よりＳ（３）＝３

です。このとき次の問いに答えなさい。

（１）　Ｓ（４）、Ｓ（５）を求めなさい。

（２）　Ｓ（ｎ）＝１２７となるｎを求めなさい。

（１）　ｎ＝４のとき

仕切りを入れる場所は３か所ある

_３Ｃ_１＋_３Ｃ_２＋_３Ｃ_３＝３＋３＋１＝７　（＝２^３－１）

Ｓ（４）＝７

ｎ＝５のとき

仕切りを入れる場所は４か所ある

_４Ｃ_１＋_４Ｃ_２＋_４Ｃ_３＋_４Ｃ_４＝４＋６＋４＋１＝１５　（＝２^４－１）

Ｓ（５）＝１５

（２）　Ｓ（６）＝Ｓ（５）×２＋１＝３１　（＝２^５－１）

Ｓ（７）＝Ｓ（６）×２＋１＝６３　（＝２^６－１）

Ｓ（８）＝Ｓ（７）×２＋１＝１２７　（＝２^７－１）

（参考１）　答えのでた人は、どうして２倍して１をたすとうまくいくのかを

Ｓ（４）とＳ（３）の場合で図をかいて比較して考えてみましょう

２倍する意味と１をたす意味が分かれば理解が深まりますよ

（参考２）　ｎ＝４のときＳ（４）＝２^３－１で求められる理由を

図をかきながら、ある場所に仕切りを入れるか入れないかを意識して、

よーく眺めていると２の３乗の意味と－１の意味が

分かると思います

（参考３）　パスカルの三角形

（１＋１）^４＝２^４＝_４Ｃ_０＋_４Ｃ_１＋_４Ｃ_２＋_４Ｃ_３＋_４Ｃ_４

＝１＋４＋６＋４＋１

　　

（参考４）　東大寺学園中学　２００４年　算数１番（３）

整数３は、０より大きく３より小さい２個以上の整数の和の形で

１＋２、２＋１、１＋１＋１のように３通りに表せます。

同じように考えると整数４は、

０より大きく４より小さい２個以上の整数の和の形で

何通りに表せますか。

答　（１）　Ｓ（４）＝７、Ｓ（５）＝１５

（２）　８